Soal Matematika Barisan dan Deret Tak Hingga Kelas XI dan Pembahasan

Soal Matematika Barisan dan Deret Tak Hingga Kelas XI dan Pembahasan – Barisan adalah bilangan-bilangan yang dituliskan secara berturut-turut dengan aturan tertentu. Aturan tersebut digunakan untuk menentukan suku0suku dari barisan. Barisan tak hingga yaitu barisan yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah dari suku-suku barisan tak hingga dinamakan deret tak hingga.

1.      Barisan Bilangan

Rumus Un = ½ n(n + 1)

a.       Barisan Artmetika

Setiap suku-suku yang berurutan memiliki selisih tetap (konstan). Selisih yang tetap disebut beda (b).

Un = a + (n – 1) b

b.      Barisan Geometri

Setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku didepannya dengan bilangan yang tetap (konstan). Bilangan tetap ini disebut rasio (r).

Un = a x r ^{n – 1}

c.       Deret Aritmetika

Sk = n/2 (2a + (n – 1) b)

d.      Deret Geometri

Sk = a(rⁿ – 1) / r – 1 , jika r > 1

Sk = a(1 – rⁿ)/ 1 – r , jika r < 1

e.       Deret Arirmetika Tak hingga

Sn = a + (n – 1) b

f.       Deret Geometri Tak hingga

Sn = a. r ^{n – 1}

Nilai |r| > 1 à Deret Divergen

Nilai |r| < 1 à Deret Konvergen

S = a / 1 – r

SOAL

1.      Diketahui barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, ...

a.       Tentukan rumus fungsi yang mewakili barisan aritmetika tersebut!

b.      Tentukan nilai suku ke-20 barisan tersebut!

Penyelesaian :

a = 3,   beda (b) = 7 – 3 = 4

a.       Un = a + (n – 1) b

= 3 + (n – 1) 4

= 3 + 4n – 4 = 4n – 1,                         Jadi Un = 4n – 1

b.      Suku ke-20

Un = 4n – 1

U20 = 4(20) – 1 = 79,                   Jadi nilai suku ke-20 adalah 79

2.      Diketahui barisan geometri dengan rumus fungsi Un = 3 ^{n – 1} dengan domain bilangan asli.

a.       Tentukan nilai empat suku pertama barisan tersebut!

b.      Jika Un = 729, tentukan nilai n!

Penyelesaian

Un = 3 ^{n – 1}

a.       U1 = 3 ^{1 – 1} = 1

U2 = 3 ^{2 – 1} = 3

U3 = 3 ^{3 – 1} = 9

U4 = 3 ^{4 – 1} = 27,                           Jadi nilai empat suku pertama 1, 3, 9, dan 27

b.      Un = 3 ^{n – 1} = 729

= 3 ^{n – 1} = 3⁶

= n – 1 = 6

= n = 7,                                    Jadi, nilai n = 7

3.      Diketahui deret aritmetika Sk = 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + ... + Uk.

a.       Tentukan rumus Sk!

b.      Tentukan jumlah delapan belas suku pertamanya!

Penyelesaian

Sk = 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + ... + Uk

            a = 15, beda b = 19 – 15 = 4

a.       Sk = n/2 (2a + (n – 1) b)

= n/2 (2a + (n – 1) x 4)

= n/2 (30 + 4n – 4)

= 2 n² + 13n

b.      S₁₈ = 2 (18)² + 13 (18)

= 648 +234

= 882

4.      Diketahui barisan geometri dengan rumus suku ke-n dinyatakan dengan fungsi Un = 3^{n – 1}. Tentukan jumlah lima suku yang pertama barisan tersebut!

Penyelesaian

Un = 3^{n – 1}

U1 = 3^{1 – 1} = 1

U2 = 3^{2 – 1} = 3,            maka r = 3/1 = 3, a = 1

Sk = a (rⁿ – 1) / r – 1

     = 1 (3⁵ – 1) / 3 – 1

     = 243 – 1 / 2  =  121

5.      Diketahui suatu deret geometri dengan rasio positif memiliki suku kedua 162 dan suku keempat 18. Tentukan:

a.       Rasio dan suku pertama

b.      Jumlah semua suku

Penyelesaian

Un = a . r^{n – 1}

U4 = a . r^{4 – 1}                       18 = a . r³

U2 = a . r^{2 – 1}                     162= a . r

r² = 1/9, maka r = 1/3

18 = a . 1/3³

a = 486

S = a / 1 – r

   = 486 / 1 – 1/3

   = 483 . 3/2 = 729

6.      Keliling suatu persegi adalah 80 cm. Dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisi persegi tersebut dapat dibuat persegi kedua. Dengan cara yang sama dibuat persegi ketiga dari persegi kedua. Demikian seterusnya sehingga persegi ke-n yang dibuat kelilingnya mendekati nol. Hitunglah keliling seluruh persegi yang ada!

Penyelesaian

r = 40√2 / 80 = √2/2

S = a / 1 – r

   = 80 / 1 - √2/2 = 80 x 2 / 2 - √2  = 160 / 2 - √2 cm

7.      Hasil dari 2 + 6 + 18 + 54 + ... + 2(3)⁷ adalah ....

a.      3⁸ – 1

b.      3⁷ – 1

c.       3⁶ – 1

d.      3⁵ – 1

e.       3⁴ – 1

Penyelesaian

Deret Geometri

a = 2

r = 6/2 = 3

Un = a r^{n – 1}

2(3)⁷ = 2 3^{n – 1}  

7 = n – 1

n = 8

Sn = a ( rⁿ – 1)/ r – 1

Sn = 2 (3⁸ – 1)/ 3 – 1

     = 2 (3⁸ – 1)/ 2         = 3⁸ – 1

Sekian Soal Matematika Barisan dan Deret Tak Hingga Kelas XI dan Pembahasan, semoga dapat membantu Anda untuk lebih memahami materi tentang barisan dan deret. Semoga bermanfaat dan selamat belajar.

Soal Transformasi (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi) Kelas XI dan Pembahasan

Soal Transformasi (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi) Kelas XI dan Pembahasan – Translasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu. Reflesi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh θ dengan pusat titik P. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala (pengali) tertentu dan pusat tertentu.

Materi

1.      Translasi

2.      Refleksi

No	Refleksi	Bayangan (x,y)
1	Terhadap sumbu X	(x, -y)
2	Terhadap sumbu Y	(-x, y)
3	Terhadapt garis y = x	(y, x)
4	Terhadap garis y = -x	(-y, -x)
5	Terhadapat titik asal O(0, 0)	(-x, -y)
6	Terhadap garis x = h	(2h – x, y)
7	Terhadap garis y = k	(x, 2k – y)
8	Terhadap titik (a, b)	(2a – x, 2b – y)

3.      Rotasi

Rotasi	Bayangan (x, y)
R(O, 90)	(-y, x)
R(O,-90)	(y, -x)
R(O, 180)	(-x,-y)

4.      Dilatasi

SOAL

1.      Titik A(5,-2) ditranslasi oleh  T (-3, 1). Tentukan koordinat bayangan titik A tersebut!

a.       A’(2,1)

b.      A’(1,1)

c.       A’(2,2)

d.      A’(2,-1)

e.       A’(-2,1)

Pembahasan :

2.      Tentukan bayangan garis y = 3x – 5 oleh translasi T (-2, 1)!

a.       y = 2x + 2

b.      y = 2x - 2

c.       y = 3x + 2

d.      y = 3x - 2

e.       y = 2x + 3

Pembahasan :

3.      Bayangan titik A oleh refleksi terhadap titik (1, -2) adalah titik A’(3, 5). Tentukan koordinat titik A!

a.       A(1, 9)

b.      A(1, 1)

c.       A(-9, 1)

d.      A(-1, -9)

e.       A(9, 1)

Pembahasan :

x’ = 2 – x  ó x = 2 – x’

y’ = -4 – y ó y = -4 – y’

x = 2 – 3 = -1

y = -4 – 5 = -9             Jadi A(-1, -9)

4.      Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis x = -1!

a.       2x + y + 9 = 0

b.      x + 2y + 9 = 0

c.       x + y - 9 = 0

d.      2x - y + 9 = 0

e.       2x + y - 9 = 0

Pembahasan :

(x, y) ó (2a – x, y)

x’ = 2(-1) – x ó x’ = -2 – x

y’ = y

2(-2 – x’) – y’ = 5

-y – 2x’ – y’ = 5

2x’ + y’ + 9 = 0                       Jadi bayangan 2x + y + 9 = 0

5.      Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis y = -x!

a.       x – 2y + 5 = 0

b.      x + 2y – 5 = 0

c.       x – 2y – 5 = 0

d.      2x – 2y – 5 = 0

e.       2x – 2y + 5 = 0

Pembahasan :

(x, y) ó (-y, -x)

x’ = -y , y’ = -x

2(-y’) – (-x’) = 5

x’ – 2y’ – 5 = 0                                   Jadi bayangan x – 2y – 5 = 0

6.      Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90)!

a.       x - 5y – 4 = 0

b.      x + 5y + 4 = 0

c.       5x + 5y – 4 = 0

d.      5x - 5y – 4 = 0

e.       x + 5y – 4 = 0

Pembahasan :

(x, y) ó (y, -x)

x’ = y  ,   y’ = -x

x’ = 5(-y’) + 4

x’ + 5y’ – 4 = 0                       Jadi bayangan x + 5y – 4 = 0

7.      Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh  rotasi R(O, 135)!

a.       (-3√2, -5√2)

b.      (3√2, 5√2)

c.       (-3√2,-5√2)

d.      (3√2, 5√2)

e.       (-3√2, 5√2)

Pembahasan :

8.      Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(-1, 2)!

a.       (8, 4)

b.      (-8, 4)

c.       (8, -4)

d.      (-4,- 8)

e.       (4, 8)

Pembahasan :

9.      Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]!

a.       (1, 3)

b.      (3, 1)

c.       (-1, -3)

d.      (3, -1)

e.       (1, -3)

Pembahasan :

10.  Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2!

a.       3x + 4y + 12 = 0

b.      3x + 4y – 12 = 0

c.       3x – 4y + 12 = 0

d.      -3x + 4y + 12 = 0

e.       3x – 4y – 12 = 0

Pembahasan :

Sekian Soal Transformasi (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi) Kelas XI dan Pembahasan, semoga dapat membantu Anda dalam memahami materi matematika bab Transformasi.

Polling : Apakah metode penyelesaian yang saya berikan cukup mudah dipahami?

Jawaban bisa langsung di komen, jawaban Anda akan menentukan kemajuan dari blog ini dan memberikan layanan kepada Anda dengan lebih baik.

Terima kasih.